追記

今回のケースでは、対象のサイトは User-Agent がない場合は応答を拒否(503 エラーを返す)する設計・実装のようですね。
User-Agent に有意な値を入れてください。

https://goo.gl/bvQz1y

これ臭い！　ということで

client.Headers[“User-Agent”] = “myUserAgentString”;

https://goo.gl/IttA2W

を追加したら503エラーは無くなったけど中身がnullのまま。
むーん

原文

んなわけではまっているのである。
まず、どうも被ブックマークの新着順は見られないようだと言うことなので
http://b.hatena.ne.jp/search/text?safe=off&q=elve&mode=rss&threshold=1&sort=eid
を取得してみようと思ったのだが・・・

using System;
using System.Xml;
using System.ServiceModel.Syndication;
using System.Web;
using System.Net;
using System.IO;
namespace WindowsFormsApp1
{
class Class3
{
public string url_name {set;get;}
public string url { get; set; }
public Class3()
{
url_name = Properties.Settings.Default.url_name;
url = "http://b.hatena.ne.jp/search/text?safe=off&q="+ url_name + "&mode=rss&threshold=1";
var tmp = new HttpUtility();
url = System.Web.HttpUtility.UrlPathEncode(url);
}
public string test()
{
WebClient web = new WebClient();
Stream stream = web.OpenRead(url);//ここで例外発生
//
　　　　　　//略
　　　　　　//
}

じゃーjsonでとってみるかーってんで
http://b.hatena.ne.jp/entrylist/json?sort=eid&url=elve
に変えてみても・・・

        public string test2()
{
url = "http://b.hatena.ne.jp/entrylist/json?sort=eid&url=" + url_name;
url = System.Web.HttpUtility.UrlPathEncode(url);
WebClient web = new WebClient();
Stream stream = web.OpenRead(url);//ここで例外発生
//
　　　　　　//略
　　　　　　//
}
}
}

明日はなんかうまい方法が見つかるといいなぁ